GoogleアナリティクスはGoogleアドワーズと連携することで、アドワーズ広告の効果を直接的に高めることができます。しかし、Google Search Console(グーグルサーチコンソール)自体と直接的にGoogle AdWordsを接続するような設定はありません。
元々、サーチコンソールはGoogleウェブマスターツールと呼ばれていました。Googleアナリティクスとの連携を重視しているため、やはりアドワーズ広告との親和性は低いと捉えてしまって問題はないというのが実情でしょう。
そのため、サーチコンソールの知識があるリスティング広告などの運用型広告の運用者は一部のGoogleアナリティクスなどのコンサルティングが主力の広告代理店以外は少ないと思います。
個人的にはSearch Consoleで得られる、検索アナリティクスのGoogle検索での結果分析をしてみることを推奨します。検索アナリティクスのデーターは現在のホームページに流入してきているキーワードを可視化する唯一の方法です。
過去はGoogleアナリティクス単体でも検索エンジンの利用者が流入してくるキーワードが可視化されていましたが、SSL化というセキュリティ強化の波に押されて、現在では、ほぼnot providedという不明なキーワードとなっていて、知ることができなくなりました。
このnot provided自体は解決することができませんが、アナリティクスとSearch Consoleを連携することで、キーワードを可視化することができます。ただし、Yahooで検索されたキーワードは知ることができませんし、Googleでも過去90日分までしか知ることができません。
一部のキーワードとはいえ、可視化されていることは重要です。
ちなみに検索アナリティクスのデーターで可視化されているキーワードはそのキーワードで掲載されている順位によって、クリック率が左右される側面もあります。もちろん1位で掲載されていれば、クリック率が高いですし、100位だと、基本的にクリックされることは少ないでしょう。
同じキーワードで自然検索でのクリック率と比較して、Googleアドワーズでのクリック率が低い場合は、広告文と流入してくる検索エンジン利用者との間に何らかの乖離が起こっている可能性は否定できません。もっと、魅力的な広告文で出稿する必要性があります。
そういう意味でリスティング広告の広告文の改善に検索アナリティクスのデーターを活用する方法があるので、Googleサーチコンソールの活用を推奨します。
この機会にGoogle Search Consoleについて知見を深めてみてはいかがでしょうか?